Các trường hợp và định nghĩa Phân_rã_QR

Ma trận vuông

Bất kỳ ma trận vuông thực A có thể bị phân tách thành

A = Q R , {\displaystyle A=QR,\,}

Trong đó Q là một ma trận trực giao (các cột của nó là các vectơ đơn vị trực giao có nghĩa là Q T Q = Q Q T = I {\displaystyle Q^{\textsf {T}}Q=QQ^{\textsf {T}}=I} ) và R là ma trận tam giác trên (còn gọi là ma trận tam giác vuông, do đó có tên). Nếu A là khả nghịch, thì việc phân tích này là duy nhất nếu chúng ta yêu cầu các phần tử đường chéo của R là dương.

Nếu thay vào đó A là một ma trận vuông phức, thì có một phép phân tách A = QR trong đó Q là một ma trận đơn vị (vì vậy Q ∗ Q = Q Q ∗ = I {\displaystyle Q^{*}Q=QQ^{*}=I} ).

Nếu A có n cột độc lập tuyến tính, thì n cột đầu tiên của Q tạo thành cơ sở trực giao cho không gian cột của A. Tổng quát hơn, các cột k đầu tiên của Q tạo thành cơ sở trực giao cho nhịp của các cột k đầu tiên của A cho bất kỳ 1≤ k ≤ n.[1] Thực tế là bất kỳ cột k nào của A chỉ phụ thuộc vào các cột k đầu tiên của Q chịu trách nhiệm cho dạng tam giác của R.